数学必修五知识总结

时间：2024-08-26 14:20:11 工作总结我要投稿

相关推荐

数学必修五知识总结

　　总结是在一段时间内对学习和工作生活等表现加以总结和概括的一种书面材料，它可以促使我们思考，快快来写一份总结吧。总结怎么写才能发挥它的作用呢？下面是小编为大家收集的数学必修五知识总结，欢迎阅读与收藏。

数学必修五知识总结

数学必修五知识总结1

　　空间直线与直线之间的位置关系

　　(1)异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线

　　(2)异面直线性质：既不平行，又不相交。

　　(3)异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的.直线是异面直线

　　异面直线所成角：作平行，令两线相交，所得锐角或直角，即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条异面直线互相垂直。

　　(4)求异面直线所成角步骤：

　　A、利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上。

　　B、证明作出的角即为所求角

　　C、利用三角形来求角

　　(5)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两角相等或互补。

　　(6)空间直线与平面之间的位置关系

　　直线在平面内——有无数个公共点。

　　三种位置关系的符号表示：aαa∩α=Aaα

　　(7)平面与平面之间的位置关系：

　　平行——没有公共点；αβ

　　相交——有一条公共直线。α∩β=b

数学必修五知识总结2

　　【差数列的基本性质】

　　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。

　　⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}（k、b为非零常数）也是等差数列。

　　⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+（n—m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性、

　　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…。

　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。

　　⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{a}中，a—a=a—a=md、（其中m、k、）

　　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项。

　　⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。

　　⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠—1），则a=。

　　【等差数列前n项和公式S的基本性质】

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）。

　　⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S—S=nd，=；当项数为（2n—1）（n）时，S—S=a，=。

　　⑶若数列{a}为等差数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等差数列，公差为、

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T（n为奇数），则=。

　　⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b（n>m），则S=（a—b）。

　　⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+（a—）上。

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为S、①若a>0，公差d<0，则当a≥0且a≤0时，S；②若a<0，公差d>0，则当a≤0且a≥0时，S最小。

　　【等比数列的基本性质】

　　⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q（m为等距离的项数之差）。

　　⑵对任何m、n，在等比数列{a}中有：a=a·q，特别地，当m=1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性。

　　⑶一般地，如果t，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t+k，p，…，m+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等比数列时，有：a、a、a、…=a、a、a、…。

　　⑷若{a}是公比为q的等比数列，则{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为|q|}、{q}、{q}、{}。

　　⑸如果{a}是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列。

　　⑹如果{a}是等比数列，那么对任意在n，都有a·a=a·q>0。

　　⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积。

　　⑻当q>1且a>0或00且01时，等比数列为递减数列；当q=1时，等比数列为常数列；当q<0时，等比数列为摆动数列。

　　【集合】

　　一、集合有关概念

　　1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　1、元素的确定性；2、元素的互异性；3、元素的无序性

　　说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　　（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　　3、集合的表示：{}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　1、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　2、集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意啊：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　关于属于的概念

　　集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a？A

　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上、

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法、用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

　　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②数学式子描述法：例：不等式x—32的解集是{x？R|x—32}或{x|x—32}

　　4、集合的分类：

　　1、有限集含有有限个元素的集合

　　2、无限集含有无限个元素的集合

　　3、空集不含任何元素的集合例：{x|x2=—5｝

　　二、集合间的基本关系

　　1、包含关系子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

　　2、相等关系（55，且55，则5=5）

　　实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}元素相同

　　结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时，集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B

　　①任何一个集合是它本身的子集、AA

　　②真子集：如果AB，且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

　　③如果AB，BC，那么AC

　　④如果AB同时BA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为

　　规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集、

　　三、集合的运算

　　1、交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A，B的交集。

　　记作AB（读作A交B），即AB={x|xA，且xB}、

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集、记作：AB（读作A并B），即AB={x|xA，或xB}、

　　3、交集与并集的性质：AA=A，A=，AB=BA，AA=A，A=A，AB=BA。

　　4、全集与补集

　　（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的`补集（或余集）

　　（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集、通常用U来表示。

　　（3）性质：⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）⑶（CUA）A=U

　　【立体几何】

　　柱、锥、台、球的结构特征

　　棱柱

　　定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

　　表示：用各顶点字母，如五棱柱或用对角线的端点字母，如五棱柱。

　　几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

　　棱锥

　　定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

　　表示：用各顶点字母，如五棱锥

　　几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

　　棱台

　　定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分。

　　分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等

　　表示：用各顶点字母，如五棱台

　　几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

　　圆柱

　　定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转，其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。

　　几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

　　圆锥

　　定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周所成的曲面所围成的几何体。

　　几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

　　圆台

　　定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分

　　几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

　　球体

　　定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体

　　几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

　　NO、2空间几何体的三视图

　　定义三视图

　　定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯视图（从上向下）

　　注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；

　　俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；

　　侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

　　NO、3空间几何体的直观图——斜二测画法

　　斜二测画法

　　斜二测画法特点

　　①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；

　　②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。

　　直线与方程

　　直线的倾斜角

　　定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

　　直线的斜率

　　定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

　　过两点的直线的斜率公式：

　　（注意下面四点）

　　（1）当时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；

　　（2）k与P1、P2的顺序无关；

　　（3）以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；

　　（4）求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

　　幂函数

　　定义

　　形如y=x^a（a为常数）的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。

　　定义域和值域

　　当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域

　　性质

　　对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性：

　　首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^（p/q）=q次根号（x的p次方），如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞）。当指数n是负整数时，设a=—k，则x=1/（x^k），显然x≠0，函数的定义域是（—∞，0）∪（0，+∞）、因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道：

　　排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数；

　　排除了为0这种可能，即对于x<0和x>0的所有实数，q不能是偶数；

　　排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。

　　指数函数

　　（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

　　（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

　　（3）函数图形都是下凹的。

　　（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

　　（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

　　（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

　　（7）函数总是通过（0，1）这点。

　　（8）显然指数函数无界。

　　奇偶性

　　定义

　　一般地，对于函数f（x）

　　（1）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数。

　　（2）如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数。

　　（3）如果对于函数定义域内的任意一个x，f（—x）=—f（x）与f（—x）=f（x）同时成立，那么函数f（x）既是奇函数又是偶函数，称为既奇又偶函数。

　　（4）如果对于函数定义域内的任意一个x，f（—x）=—f（x）与f（—x）=f（x）都不能成立，那么函数f（x）既不是奇函数又不是偶函数，称为非奇非偶函数。

数学必修五知识总结3

　　（一）、映射、函数、反函数

　　1、对应、映射、函数三个概念既有共性又有区别，映射是一种特殊的对应，而函数又是一种特殊的映射。

　　2、对于函数的概念，应注意如下几点：

　　（1）掌握构成函数的三要素，会判断两个函数是否为同一函数。

　　（2）掌握三种表示法——列表法、解析法、图象法，能根实际问题寻求变量间的函数关系式，特别是会求分段函数的解析式。

　　（3）如果y=f（u），u=g（x），那么y=f[g（x）]叫做f和g的复合函数，其中g（x）为内函数，f（u）为外函数。

　　3、求函数y=f（x）的反函数的一般步骤：

　　（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域；

　　（2）由y=f（x）的解析式求出x=f—1（y）；

　　（3）将x，y对换，得反函数的习惯表达式y=f—1（x），并注明定义域。

　　注意①：对于分段函数的反函数，先分别求出在各段上的反函数，然后再合并到一起。

　　②熟悉的应用，求f—1（x0）的值，合理利用这个结论，可以避免求反函数的过程，从而简化运算。

　　（二）、函数的解析式与定义域

　　1、函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数的定义域。求函数的定义域一般有三种类型：

　　（1）有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域要结合实际意义考虑；

　　（2）已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。如：

　　①分式的分母不得为零；

　　②偶次方根的被开方数不小于零；

　　③对数函数的真数必须大于零；

　　④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1；

　　⑤三角函数中的正切函数y=tanx（x∈R，且k∈Z），余切函数y=cotx（x∈R，x≠kπ，k∈Z）等。

　　应注意，一个函数的解析式由几部分组成时，定义域为各部分有意义的自变量取值的`公共部分（即交集）。

　　（3）已知一个函数的定义域，求另一个函数的定义域，主要考虑定义域的深刻含义即可。

　　已知f（x）的定义域是[a，b]，求f[g（x）]的定义域是指满足a≤g（x）≤b的x的取值范围，而已知f[g（x）]的定义域[a，b]指的是x∈[a，b]，此时f（x）的定义域，即g（x）的值域。

　　2、求函数的解析式一般有四种情况

　　（1）根据某实际问题需建立一种函数关系时，必须引入合适的变量，根据数学的有关知识寻求函数的解析式。

　　（2）有时题设给出函数特征，求函数的解析式，可采用待定系数法。比如函数是一次函数，可设f（x）=ax+b（a≠0），其中a，b为待定系数，根据题设条件，列出方程组，求出a，b即可。

　　（3）若题设给出复合函数f[g（x）]的表达式时，可用换元法求函数f（x）的表达式，这时必须求出g（x）的值域，这相当于求函数的定义域。

　　（4）若已知f（x）满足某个等式，这个等式除f（x）是未知量外，还出现其他未知量（如f（—x），等），必须根据已知等式，再构造其他等式组成方程组，利用解方程组法求出f（x）的表达式。

　　（三）、函数的值域与最值

　　1、函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

　　（1）直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

　　（2）换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式里是二次式时，用三角换元。

　　（3）反函数法：利用函数f（x）与其反函数f—1（x）的定义域和值域间的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域，形如（a≠0）的函数值域可采用此法求得。

　　（4）配方法：对于二次函数或二次函数有关的函数的值域问题可考虑用配方法。

　　（5）不等式法求值域：利用基本不等式a+b≥[a，b∈（0，+∞）]可以求某些函数的值域，不过应注意条件“一正二定三相等”有时需用到平方等技巧。

　　（6）判别式法：把y=f（x）变形为关于x的一元二次方程，利用“△≥0”求值域。其题型特征是解析式中含有根式或分式。

　　（7）利用函数的单调性求值域：当能确定函数在其定义域上（或某个定义域的子集上）的单调性，可采用单调性法求出函数的值域。

　　（8）数形结合法求函数的值域：利用函数所表示的几何意义，借助于几何方法或图象，求出函数的值域，即以数形结合求函数的值域。

　　2、求函数的最值与值域的区别和联系

　　求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的，事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值。因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同，因而答题的方式就有所相异。

　　如函数的值域是（0，16]，值是16，无最小值。再如函数的值域是（—∞，—2]∪[2，+∞），但此函数无值和最小值，只有在改变函数定义域后，如x>0时，函数的最小值为可见定义域对函数的值域或最值的影响。

　　3、函数的最值在实际问题中的应用

　　函数的最值的应用主要体现在用函数知识求解实际问题上，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润”或“面积（体积）（最小）”等诸多现实问题上，求解时要特别关注实际意义对自变量的制约，以便能正确求得最值。

　　（四）、函数的奇偶性

　　1、函数的奇偶性的定义：对于函数f（x），如果对于函数定义域内的任意一个x，都有f（—x）=—f（x）（或f（—x）=f（x）），那么函数f（x）就叫做奇函数（或偶函数）。

　　正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：（1）定义域在数轴上关于原点对称是函数f（x）为奇函数或偶函数的必要不充分条件；（2）f（x）=—f（x）或f（—x）=f（x）是定义域上的恒等式。（奇偶性是函数定义域上的整体性质）。

　　2、奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据。为了便于判断函数的奇偶性，有时需要将函数化简或应用定义的等价形式：

　　注意如下结论的运用：

　　（1）不论f（x）是奇函数还是偶函数，f（|x|）总是偶函数；

　　（2）f（x）、g（x）分别是定义域D1、D2上的奇函数，那么在D1∩D2上，f（x）+g（x）是奇函数，f（x）·g（x）是偶函数，类似地有“奇±奇=奇”“奇×奇=偶”，“偶±偶=偶”“偶×偶=偶”“奇×偶=奇”；

　　（3）奇偶函数的复合函数的奇偶性通常是偶函数；

　　（4）奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数。

　　3、有关奇偶性的几个性质及结论

　　（1）一个函数为奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数为偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称。

　　（2）如要函数的定义域关于原点对称且函数值恒为零，那么它既是奇函数又是偶函数。

　　（3）若奇函数f（x）在x=0处有意义，则f（0）=0成立。

　　（4）若f（x）是具有奇偶性的区间单调函数，则奇（偶）函数在正负对称区间上的单调性是相同（反）的。

　　（5）若f（x）的定义域关于原点对称，则F（x）=f（x）+f（—x）是偶函数，G（x）=f（x）—f（—x）是奇函数。

　　（6）奇偶性的推广

　　函数y=f（x）对定义域内的任一x都有f（a+x）=f（a—x），则y=f（x）的图象关于直线x=a对称，即y=f（a+x）为偶函数。函数y=f（x）对定义域内的任—x都有f（a+x）=—f（a—x），则y=f（x）的图象关于点（a，0）成中心对称图形，即y=f（a+x）为奇函数。

数学必修五知识总结4

　　不等式的定义

　　在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号、、连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式。

　　比较两个实数的大小

　　两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a—baa—b=0a—ba0，则有a/baa/b=1a/ba

　　不等式的'性质

　　（1）对称性：ab

　　（2）传递性：ab，ba

　　（3）可加性：aa+cb+c，ab，ca+c

　　（4）可乘性：ab，cacb0，c0bd；

　　（5）可乘方：a0bn（nN，n

　　（6）可开方：a0

　　（nN，n2）。

　　注意：

　　一个技巧

　　作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方。

　　一种方法

　　待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围。

数学必修五知识总结5

　　1、数列的函数理解：

　　①数列是一种特殊的函数。其特殊性主要表现在其定义域和值域上。数列可以看作一个定义域为正整数集N_其有限子集{1，2，3，…，n}的函数，其中的'{1，2，3，…，n}不能省略。②用函数的观点认识数列是重要的思想方法，一般情况下函数有三种表示方法，数列也不例外，通常也有三种表示方法：a。列表法；b。图像法；c。解析法。其中解析法包括以通项公式给出数列和以递推公式给出数列。③函数不一定有解析式，同样数列也并非都有通项公式。

　　2、通项公式：数列的第N项an与项的序数n之间的关系可以用一个公式an=f（n）来表示，这个公式就叫做这个数列的通项公式（注：通项公式不）。

　　数列通项公式的特点：

　　（1）有些数列的通项公式可以有不同形式，即不。

　　（2）有些数列没有通项公式（如：素数由小到大排成一列2，3，5，7，11，......）。

　　3、递推公式：如果数列{an}的第n项与它前一项或几项的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推公式。

　　数列递推公式特点：

　　（1）有些数列的递推公式可以有不同形式，即不。

　　（2）有些数列没有递推公式。

　　有递推公式不一定有通项公式。

数学必修五知识总结6

　　集合间的基本关系

　　1、包含关系子集

　　注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

　　反之：集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作AB或BA

　　2、相等关系（55，且55，则5=5）

　　实例：设A={x|x2—1=0}B={—1，1}元素相同

　　①任何一个集合是它本身的子集。AA

　　②真子集：如果AB，且A1B那就说集合A是集合B的真子集，记作AB（或BA）

　　③如果AB，BC，那么AC

　　④如果AB同时BA那么A=B

　　3、不含任何元素的集合叫做空集，记为

　　规定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

　　集合的运算

　　1、交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的.元素所组成的集合，叫做A，B的交集。

　　记作AB（读作A交B），即AB={x|xA，且xB}。

　　2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：AB（读作A并B），即AB={x|xA，或xB}。

　　3、交集与并集的性质：AA=A，A=，AB=BA，AA=A，A=A，AB=BA。

　　4、全集与补集

　　（1）补集：设S是一个集合，A是S的一个子集（即），由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集）

　　（2）全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

　　（3）性质：⑴CU（CUA）=A⑵（CUA）⑶（CUA）A=U

数学必修五知识总结7

　　排列组合

　　排列P------和顺序有关

　　组合C-------不牵涉到顺序的问题

　　排列分顺序，组合不分

　　例如把5本不同的书分给3个人，有几种分法."排列"

　　把5本书分给3个人，有几种分法"组合"

　　1.排列及计算公式

　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号p(n，m)表示.

　　p(n，m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)=n!/(n-m)!(规定0!=1).

　　2.组合及计算公式

　　从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号

　　c(n，m)表示.

　　c(n，m)=p(n，m)/m!=n!/((n-m)!_!);c(n，m)=c(n，n-m);

　　3.其他排列与组合公式

　　从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n，r)/r=n!/r(n-r)!.

　　n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1，n2，...nk这n个元素的全排列数为

　　n!/(n1!_2!_.._k!).

　　k类元素，每类的`个数无限，从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1，m).

　　排列(Pnm(n为下标，m为上标))

　　Pnm=n×(n-1)....(n-m+1);Pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);Pnn(两个n分别为上标和下标)=n!;0!=1;Pn1(n为下标1为上标)=n

　　组合(Cnm(n为下标，m为上标))

　　Cnm=Pnm/Pmm;Cnm=n!/m!(n-m)!;Cnn(两个n分别为上标和下标)=1;Cn1(n为下标1为上标)=n;Cnm=Cnn-m

　　20xx-07-0813：30

　　公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。公式C是指组合，从N个元素取R个，不进行排列。N-元素的总个数R参与选择的元素个数!-阶乘，如9!=9________

　　从N倒数r个，表达式应该为n_n-1)_n-2)..(n-r+1);

　　因为从n到(n-r+1)个数为n-(n-r+1)=r

数学必修五知识总结8

　　⑴公差为d的等差数列,各项同加一数所得数列仍是等差数列,其公差仍为d.

　　⑵公差为d的等差数列,各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列,其公差为kd.

　　⑶若{a}、{b}为等差数列,则{a±b}与{ka+b}(k、b为非零常数)也是等差数列.

　　⑷对任何m、n,在等差数列{a}中有：a=a+(n-m)d,特别地,当m=1时,便得等差数列的通项公式,此式较等差数列的通项公式更具有一般性.

　　⑸、一般地,如果l,k,p,…,m,n,r,…皆为自然数,且l+k+p+…=m+n+r+…(两边的自然数个数相等),那么当{a}为等差数列时,有：a+a+a+…=a+a+a+….

　　⑹公差为d的等差数列,从中取出等距离的项,构成一个新数列,此数列仍是等差数列,其公差为kd(k为取出项数之差).

　　⑺如果{a}是等差数列,公差为d,那么,a,a,…,a、a也是等差数列,其公差为-d;在等差数列{a}中,a-a=a-a=md.(其中m、k、)

　　⑻在等差数列中,从第一项起,每一项(有穷数列末项除外)都是它前后两项的等差中项.

　　⑼当公差d>0时,等差数列中的数随项数的增大而增大;当d

　　⑽设a,a,a为等差数列中的三项,且a与a,a与a的'项距差之比=(≠-1),则a=.

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式(其中a、b为常数).

　　⑵在等差数列{a}中,当项数为2n(nN)时,S-S=nd,=;当项数为(2n-1)(n)时,S-S=a,=.

　　⑶若数列{a}为等差数列,则S,S-S,S-S,…仍然成等差数列,公差为.

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T(n为奇数),则=.

　　⑸在等差数列{a}中,S=a,S=b(n>m),则S=(a-b).

　　⑹等差数列{a}中,是n的一次函数,且点(n,)均在直线y=x+(a-)上.

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为S.①若a>0,公差d0,则当a≤0且a≥0时,S小.

数学必修五知识总结9

　　（一）解三角形：

　　1、正弦定理：在中，分别为角、、的对边，则有

　　（为的外接圆的半径）

　　2、正弦定理的变形公式：①，；②，；③；

　　3、三角形面积公式：

　　4、余弦定理：在中，有，推论：

　　（二）数列：

　　1、数列的有关概念：

　　（1）数列：按照一定次序排列的一列数。数列是有序的。数列是定义在自然数N_它的有限子集{1，2，3，…，n}上的函数。

　　（2）通项公式：数列的第n项an与n之间的函数关系用一个公式来表示，这个公式即是该数列的通项公式。如：

　　（3）递推公式：已知数列{an}的`第1项（或前几项），且任一项an与他的前一项an—1（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式即是该数列的递推公式。

　　如：

　　2、数列的表示方法：

　　（1）列举法：如1，3，5，7，9，…

　　（2）图象法：用（n，an）孤立点表示。

　　（3）解析法：用通项公式表示。

　　（4）递推法：用递推公式表示。

　　3、数列的分类：

　　4、数列{an}及前n项和之间的关系：

数学必修五知识总结10

　　【差数列的基本性质】

　　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为d。

　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为kd。

　　⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}（k、b为非零常数）也是等差数列。

　　⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+（n—m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。

　　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…。

　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。

　　⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{a}中，a—a=a—a=md。（其中m、k、）

　　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项。

　　⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。

　　⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的.项距差之比=（≠—1），则a=。

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）。

　　⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S—S=nd，=；当项数为（2n—1）（n）时，S—S=a，=。

　　⑶若数列{a}为等差数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等差数列，公差为。

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T（n为奇数），则=。

　　⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b（n>m），则S=（a—b）。

　　⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+（a—）上。

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为S。①若a>0，公差d<0，则当a≥0且a≤0时，S；②若a<0，公差d>0，则当a≤0且a≥0时，S最小。

数学必修五知识总结11

　　1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

　　2、集合的中元素的三个特性：

　　1、元素的确定性；2、元素的互异性；3、元素的无序性

　　说明：（1）对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

　　（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

　　（3）集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

　　（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

　　3、集合的表示：{}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}

　　1、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1，2，3，4，5}

　　2、集合的表示方法：列举法与描述法。

　　注意啊：常用数集及其记法：

　　非负整数集（即自然数集）记作：N

　　正整数集N。或N+整数集Z有理数集Q实数集R

　　关于属于的概念

　　集合的'元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作aA，相反，a不属于集合A记作a？A

　　列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

　　描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

　　①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

　　②数学式子描述法：例：不等式x—32的解集是{x？R|x—32}或{x|x—32}

数学必修五知识总结12

　　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为

　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为

　　⑶若{ a }、{ b }为等差数列，则{ a ±b }与{ka +b}（k、b为非零常数）也是等差数列。

　　⑷对任何m、n，在等差数列{ a }中有：a = a +（n—m）d，特别地，当m = 1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。

　　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l + k + p + … = m + n + r + …（两边的自然数个数相等），那么当{a }为等差数列时，有：a + a + a + … = a + a + a + … 。

　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。

　　⑺如果{ a }是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a 、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{ a }中，a —a = a —a = md 。（其中m、k、）

　　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的`等差中项。

　　⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。

　　⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（=？—1），则a = 。

数学必修五知识总结13

　　【差数列的基本性质】

　　⑴公差为d的等差数列，各项同加一数所得数列仍是等差数列，其公差仍为

　　⑵公差为d的等差数列，各项同乘以常数k所得数列仍是等差数列，其公差为

　　⑶若{a}、{b}为等差数列，则{a±b}与{ka+b}（k、b为非零常数）也是等差数列。

　　⑷对任何m、n，在等差数列{a}中有：a=a+（n—m）d，特别地，当m=1时，便得等差数列的通项公式，此式较等差数列的通项公式更具有一般性。

　　⑸、一般地，如果l，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且l+k+p+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等差数列时，有：a+a+a+…=a+a+a+…。

　　⑹公差为d的等差数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等差数列，其公差为kd（k为取出项数之差）。

　　⑺如果{a}是等差数列，公差为d，那么，a，a，…，a、a也是等差数列，其公差为—d；在等差数列{a}中，（其中m、k、）

　　⑻在等差数列中，从第一项起，每一项（有穷数列末项除外）都是它前后两项的等差中项。

　　⑼当公差d>0时，等差数列中的数随项数的增大而增大；当d<0时，等差数列中的数随项数的减少而减小；d=0时，等差数列中的数等于一个常数。

　　⑽设a，a，a为等差数列中的三项，且a与a，a与a的项距差之比=（≠—1），则

　　⑴数列{a}为等差数列的充要条件是：数列{a}的前n项和S可以写成S=an+bn的形式（其中a、b为常数）。

　　⑵在等差数列{a}中，当项数为2n（nN）时，S—S=nd，=；当项数为（2n—1）（n）时，S—S=a，⑶若数列{a}为等差数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等差数列，公差为。

　　⑷若两个等差数列{a}、{b}的前n项和分别是S、T（n为奇数），则

　　⑸在等差数列{a}中，S=a，S=b（n>m），则S=（a—b）。

　　⑹等差数列{a}中，是n的一次函数，且点（n，）均在直线y=x+（a—）上。

　　⑺记等差数列{a}的前n项和为①若a>0，公差d<0，则当a≥0且a≤0时，S；②若a<0，公差d>0，则当a≤0且a≥0时，S最小。

　　【等比数列的基本性质】

　　⑴公比为q的等比数列，从中取出等距离的项，构成一个新数列，此数列仍是等比数列，其公比为q（m为等距离的项数之差）。

　　⑵对任何m、n，在等比数列{a}中有：a=a·q，特别地，当m=1时，便得等比数列的通项公式，此式较等比数列的通项公式更具有普遍性。

　　⑶一般地，如果t，k，p，…，m，n，r，…皆为自然数，且t+k，p，…，m+…=m+n+r+…（两边的自然数个数相等），那么当{a}为等比数列时，有：……

　　⑷若{a}是公比为q的等比数列，则{|a|}、{a}、{ka}、{}也是等比数列，其公比分别为|q|}、{q}、{q}、{}。

　　⑸如果{a}是等比数列，公比为q，那么，a，a，a，…，a，…是以q为公比的等比数列。

　　⑹如果{a}是等比数列，那么对任意在n，都有a·a=a·q>

　　⑺两个等比数列各对应项的积组成的数列仍是等比数列，且公比等于这两个数列的公比的积。

　　⑻当q>1且a>0或00且01时，等比数列为递减数列；当q=1时，等比数列为常数列；当q<0时，等比数列为摆动数列。

　　高中数学必修五：等比数列前n项和公式S的.基本性质

　　⑴如果数列{a}是公比为q的等比数列，那么，它的前n项和公式是S=

　　也就是说，公比为q的等比数列的前n项和公式是q的分段函数的一系列函数值，分段的界限是在q=1处。因此，使用等比数列的前n项和公式，必须要弄清公比q是可能等于1还是必不等于1，如果q可能等于1，则需分q=1和q≠1进行讨论。

　　⑵当已知a，q，n时，用公式S=；当已知a，q，a时，用公式

　　⑶若S是以q为公比的等比数列，则有S=S+⑵

　　⑷若数列{a}为等比数列，则S，S—S，S—S，…仍然成等比数列。

　　⑸若项数为3n的等比数列（q≠—1）前n项和与前n项积分别为S与T，次n项和与次n项积分别为S与T，最后n项和与n项积分别为S与T，则S，S，S成等比数列，T，T，T亦成等比数列

　　万能公式：sin2α=2tanα/（1+tan^2α）（注：tan^2α是指tan平方α）

　　cos2α=（1—tan^2α）/（1+tan^2α）tan2α=2tanα/（1—tan^2α）

　　升幂公式：1+cosα=2cos^2（α/2）1—cosα=2sin^2（α/2）1±sinα=（sin（α/2）±cos（α/2））^2

　　降幂公式：cos^2α=（1+cos2α）/2sin^2α=（1—cos2α）/21）sin（2kπ+α）=sinα，cos（2kπ+α）=cosα，tan（2kπ+α）=tanα，cot（2kπ+α）=cotα，其中k∈Z；

　　（2）sin（—α）=—sinα，cos（—α）=cosα，tan（—α）=—tanα，cot（—α）=—cotα

　　（3）sin（π+α）=—sinα，cos（π+α）=—cosα，tan（π+α）=tanα，cot（π+α）=cotα

　　（4）sin（π—α）=sinα，cos（π—α）=—cosα，tan（π—α）=—tanα，cot（π—α）=—cotα

　　（5）sin（π/2—α）=cosα，cos（π/2—α）=sinα，tan（π/2—α）=cotα，cot（π/2—α）=tanα

　　（6）sin（π/2+α）=cosα，cos（π/2+α）=—sinα，tan（π/2+α）=—cotα，cot（π/2+α）=—tanα

　　（7）sin（3π/2+α）=—cosα，cos（3π/2+α）=sinα，tan（3π/2+α）=—cotα，cot（3π/2+α）=—tanα

　　（8）sin（3π/2—α）=—cosα，cos（3π/2—α）=—sinα，tan（3π/2—α）=cotα，cot（3π/2—α）=tanα（k·π/2±α），其中k∈Z

　　注意：为方便做题，习惯我们把α看成是一个位于第一象限且小于90°的角；

　　当k是奇数的时候，等式右边的三角函数发生变化，如sin变成偶数则不变；

　　用角（k·π/2±α）所在的象限确定等式右边三角函数的正负。例：tan（3π/2+α）=—cotα

　　∵在这个式子中k=3，是奇数，因此等式右边应变为cot

　　又，∵角（3π/2+α）在第四象限，tan在第四象限为负值，因此为使等式成立，等式右边应为—cotα。三角函数在各象限中的正负分布

　　sin：第一第二象限中为正；第三第四象限中为负cos：第一第四象限中为正；第二第三象限中为负cot、tan：第一第三象限中为正；第二第四象限中为负。

数学必修五知识总结14

　　不等关系及不等式知识点

　　1、不等式的定义

　　2、比较两个实数的'大小

　　两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a—baa—b=0a—ba0，则有a/baa/b=1a/ba

　　3、不等式的性质

　　（1）对称性：ab

　　（2）传递性：ab，ba

　　（3）可加性：aa+cb+c，ab，ca+c

　　（4）可乘性：ab，cacb0，c0bd；

　　（5）可乘方：a0bn（nN，n

　　（6）可开方：a0

　　（nN，n2）。

　　注意：

　　一个技巧

　　作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方。

　　一种方法

　　待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围。

数学必修五知识总结15

　　1、集合的含义与表示

　　集合的三大特性：确定性、互异性、无序性。集合的表示有列举法、描述法。

　　描述法格式为：{元素|元素的特征}，例如{x|x5，且xN}2、常用数集及其表示方法

　　（1）自然数集N（又称非负整数集）：0、1、2、3、

　　（2）正整数集N

　　或N+：1、2、3、

　　（3）整数集Z：

　　（4）有理数集Q：包含分数、整数、有限小数等

　　（5）实数集R：全体实数的集合

　　（6）空集Ф：不含任何元素的集合

　　3、元素与集合的关系：属于∈，不属于

　　4、集合与集合的关系：子集、真子集、相等

　　5、重要结论

　　（1）传递性：若AB，BC，则AC

　　（2）Ф是任何集合的子集，是任意非空集合的真子集。

　　6、含有n个元素的集合，它的子集个数共有2n个；真子集有2n1个；非空子集有2n1个（即不计空集）；非空的真子集有2n2个。

　　7、集合的运算：交集、并集、补集．

　　（1）A∩B=｛x|x∈A，且x∈B｝．

　　（2）A∪B=｛x|x∈A，或x∈B｝．

　　（3）CUAx|xU，且xA注：讨论集合的情况时，不要发遗忘了A的情况。

　　8、函数概念

　　9、分段函数：在定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。如y2x1x0x23x010、求函数的定义域的原则：（解决任何函数问题，必须要考虑其定义域）

　　①分式的分母不为零；如：y1x1，则x10

　　②偶次方根的被开方数大于或等于零；如：y5x，则5x0

　　③对数的底数大于０且不等于１；如：yloga（x2），则a0且a1

　　④对数的真数大于０；如：yloga（x2），则x20

　　⑤指数为０的底不能为零；如：y（m1）x，则m1011、函数的奇偶性（在整个定义域内考虑）

　　（1）奇函数满足f（x）f（x），奇函数的图象关于原点对称；

　　（2）偶函数满足f（x）f（x），偶函数的图象关于y轴对称；

　　注：

　　①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；

　　②若奇函数在原点有定义，则f（0）0

　　③根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。

　　12、函数的单调性（在定义域的某个区间内考虑）

　　当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则f（x）在该区间上是增函数，图象从左到右上升；当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则f（x）在该区间上是减函数，图象从左到右下降。

　　函数f（x）在某区间上是增函数或减函数，那么说f（x）在该区间具有单调性，该区间叫做单调（增/减）区间

　　13、一元二次方程ax2bxc0（a0）

　　（1）求根公式：xbb24ac21，22a

　　（2）判别式：b4ac

　　（3）0时方程有两个不等实根；0时方程有一个实根；0时方程无实根。

　　（4）根与系数的关系韦达定理：xxbc12a，x1x2a

　　14、二次函数：一般式yax2bxc（a0）；两根式ya（xx1）（xx2）（a0）

　　（1）顶点坐标为（b4acb2by2a，4a）；

　　（2）对称轴方程为：x=2a；x0

　　（3）当a0时，图象是开口向上的抛物线，在x=b4acb22a处取得最小值4a

　　当a0时，图象是开口向下的抛物线，在x=b4acb22a处取得最大值4a

　　（4）二次函数图象与x轴的交点个数和判别式的关系：

　　0时，有两个交点；0时，有一个交点（即顶点）；0时，无交点。

　　15、函数的零点

　　使f（x）0的实数x20叫做函数的零点。例如x01是函数f（x）x1的一个零点。注：函数yfx有零点函数yfx的图象与x轴有交点方程fx0有实根

　　16、函数零点的判定：

　　如果函数yfx在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）f（b）0。那么，函数yfx在区间a，b内有零点，即存在ca，b，使得fc0。

　　17、分数指数幂（a0，m，nN，且n1）m3

　　（1）annam。如x3x2；

　　（2）amn1132mn。如1；

　　（3）（na）na；anamx3x

　　（4）当n为奇数时，nana；当n为偶数时，nan|a|a，a0a，a0.1

　　18、有理指数幂的运算性质（a0，r，sQ）

　　（1）arasars；

　　（2）（ar）sars；

　　（3）（ab）rarbr

　　19、指数函数yax（a0且a1），其中x是自变量，a叫做底数，定义域是Ra10a1yy图象1x10x

　　（1）定义域：R0性

　　（2）值域：（0，+∞）质

　　（3）过定点（0，1），即x=0时，y=1

　　（4）在R上是增函数（4）在R上是减函数20、若abN，则叫做以为底N的对数。记作：logaNb（a0，a1，N0）其中，a叫做对数的底数，N叫做对数的真数。

　　注：指数式与对数式的互化公式：logaNbabN（a0，a1，N0）

　　21、对数的性质

　　（1）零和负数没有对数，即logaN中N0；

　　（2）1的对数等于0，即loga10；底数的对数等于1，即logaa122、常用对数lgN：以10为底的对数叫做常用对数，记为：log10NlgN

　　自然对数lnN：以e（e=2。71828）为底的对数叫做自然对数，记为：logeNlnN23、对数恒等式：alogaNN

　　24、对数的运算性质（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）

　　（1）loga（MN）logMaMlogaN；

　　（2）logaNlogaMlogaN；

　　（3）lognaMnlogaM（nR）（注意公式的逆用）

　　25、对数的换底公式logmNaNloglog（a0，且a1，m0，且m1，N0）。

　　ma推论

　　①或log1nnablog；

　　②logamblogab。

　　bam

　　26、对数函数ylogax（a0，且a1）：其中，x是自变量，a叫做底数，定义域是（0，）

　　a10a1y图像x01x01定义域：（0，∞）性质值域：R过定点（1，0）增函数减函数取值范围0

　　③如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。

　　④平行于同一直线的两条直线平行（平行的传递性）。

　　33、等角定理：

　　空间中如果两个角的两边对应平行，那么这两个角相等或互补（如图）12334、两条直线的位置关系：平行：（在同一平面内，没有公共点）共面直线（在同一平面内，有一个公共点）异面直线

　　相交：（不同在任何一个平面内的两条直线，没有公共点）直线与平面的位置关系：

　　（1）直线在平面上；

　　（2）直线在平面外（包括直线与平面平行，直线与平面相交）

　　两个平面的位置关系：

　　（1）两个平面平行；

　　（2）两个平面相交35、直线与平面平行：

　　定义一条直线与一个平面没有公共点，则这条直线与这个平面平行。判定平面外一条直线与此平面内的一直线平行，则该直线与此平面平行。

　　性质一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

　　36、平面与平面平行：

　　定义两个平面没有公共点，则这两平面平行。

　　判定若一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

　　性质

　　①如果两个平面平行，则其中一个面内的任一直线与另一个平面平行。

　　②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们交线平行。

　　37、直线与平面垂直：

　　定义如果一条直线与一个平面内的任一直线都垂直，则这条直线与这个平面垂直。

　　判定一条直线与一个平面内的两相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。

　　性质

　　①垂直于同一平面的两条直线平行。

　　②两平行直线中的一条与一个平面垂直，则另一条也与这个平面垂直。

　　38、平面与平面垂直：

　　定义两个平行相交，如果它们所成的二面角是直二面角，则这两个平面垂直。判定一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

　　性质两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

　　39、三角形的五“心”

　　（1）O为ABC的外心（各边垂直平分线的交点）。外心到三个顶点的距离相等

　　（2）O为ABC的重心（各边中线的交点）。重心将中线分成2：1的两段

　　（3）O为ABC的垂心（各边高的交点）。

　　（4）O为ABC的内心（各内角平分线的交点）。内心到三边的距离相等

　　40、直线的斜率：

　　（1）过Ax1，y1，Bx2，y2y12两点的直线，斜率kyx，（x1x2）2x1

　　（2）已知倾斜角为的直线，斜率ktan（900）

　　41、直线位置关系：已知两直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则l1//l2k1k2且b1b2　l1l2k1k21

　　特殊情况：

　　（1）当k1，k2都不存在时，l1//l2；

　　（2）当k1不存在而k20时，l1l24

　　2、直线的五种方程：

　　①点斜式yy1k（xx1）（直线l过点（x1，y1），斜率为k）．

　　②斜截式ykxb（直线l在y轴上的截距为b，斜率为k）。

　　③两点式yy1xx1yx（直线过两点（x1，y1）与（x2，y2））。2y12x1

　　④截距式xayb1（a，b分别是直线在x轴和y轴上的截距，均不为0）

　　⑤一般式AxByC0（其中A、B不同时为0）；可化为斜截式：yABxCB4

　　3、（1）平面上两点A（x，y221，y1），B（x22）间的距离公式：|AB|=（x1x2）（y1y2）

　　（2）空间两点A（x（x2221，y1，z1），B2，y2，z2）距离公式|AB|=（x1x2）（y1y2）（z1z2）

　　（3）点到直线的距离d|Ax0By0C|A2B2（点P（x0，y0），直线l：AxByC0）。

　　44、两条平行直线AxByC10与AxByC20间的距离公式：dC1C2A2B2

　　注：求直线AxByC0的.平行线，可设平行线为AxBym0，求出m即得。

　　45、求两相交直线A1xB1yC10与A2xB2yC20的交点：解方程组AxB1yC10A12xB2yC20

　　46、圆的方程：

　　①圆的标准方程（xa）2（yb）2r2。其中圆心为（a，b），半径为r

　　②圆的一般方程x2y2DxEyF0。

　　其中圆心为（D2，ED2E24F222），半径为r2，其中DE4F＞0

　　47、直线AxByC0与圆的（xa）2（yb）2r2位置关系

　　（1）dr相离0；

　　（2）dr相切0；其中d是圆心到直线的距离，且dAaBbC（3）dr相交0。

　　A2B23

　　48、直线与圆相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，求弦AB长度的公式：

　　（1）|AB|2r2d2

　　（2）|AB|1k2（x21x2）4x1x2（结合韦达定理使用），其中k是直线的斜率

　　49、两个圆的位置关系：设两圆的圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2d

　　1）dr1r2外离4条公切线；

　　2）dr1r2外切3条公切线；

　　3）r1r2dr1r2相交2条公切线；

　　4）dr1r2内切1条公切线；

　　5）0dr1r2内含无公切线

　　必修③公式表

　　50、三种抽样方法的区别与联系类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样从总体中逐个抽取总体中个体数较少分层抽取过程将总体分成几层各层抽样可采用总体有差异明显的几部抽样中每个个体进行抽取简单随机抽样或分组成被抽取的概系统抽样率相等将总体平均分成系统抽样几部分，按事先确在起始部分抽样定的规则分别在各时采用简单随机总体中的个体较多部分抽取抽样

　　51、

　　（1）频率分布直方图（注意其纵坐标是“频率/组距）

　　组数极差，频率频数，小矩形面积组距频率频率。组距样本容量组距

　　（2）数字特征

　　众数：一组数据中，出现次数最多的数。

　　中位数：一组数从小到大排列，最中间的那个数（若最中间有两个数，则取其平均数）。平均数：x1nx1x2xn方差：s2=1n[（x22221x）（x2x）（x3x）（xnx）]

　　标准差：s1nxx2x2212xxnx

　　注：通过标准差或方差可以判断一组数据的分散程度；其值越小，数据越集中；其值越大，数据越分散。ninxyxiy回归直线方程：ybxa，其中bi1n，aybx，

　　x2inx2i1

　　注：回归直线一定过样本点中心（x，y）

　　52、事件的分类：

　　基本事件：一个事件如果不能再被分解为两个或两个以上事件，称作基本事件。

　　（1）必然事件：必然事件是每次试验都一定出现的事件。P（必然事件）=1

　　（2）不可能事件：任何一次试验都不可能出现的事件称为不可能事件。P（不可能事件）=0

　　（3）随机事件：随机试验的每一种结果或随机现象的每一种表现称作随机事件，简称为事件

　　53、在n次重复实验中，事件A发生的次数为m，则事件A发生的频率为m/n，当n很大时，m总是在某个常数值附近摆动，就把这个常数叫做事件A的概率。（概率范围：0PA1）

　　54、互斥事件概念：在一次随机事件中，不可能同时发生的两个事件，叫做互斥事件（如图1）。如果事件A、B是互斥事件，则P（A+B）=P（A）+P（B）

　　55、对立事件（如图2）：指两个事件不可能同时发生，但必有一个发生。AB图1对立事件性质：P（A）+P（A）=1，其中A表示事件A的对立事件。

　　56、古典概型是最简单的随机试验模型，古典概型有两个特征：AB

　　（1）基本事件个数是有限的；

　　（2）各基本事件的出现是等可能的，即它们发生的概率相同．

　　57、设一试验有n个等可能的基本事件，而事件A恰包含其中的m个基本事件，则事件A的概率P（A）公式为PAA包含的基本事件的个数基本事件的总数=mn

　　运用互斥事件的概率加法公式时，首先要判断它们是否互斥，再由随机事件的概率公式分别求它们的概率，然后计算。在计算某些事件的概率较复杂时，可转而先示对立事件的概率。58、几何概型的概率公式：PA构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积）

　　必修④公式表

　　r59、终边相同角构成的集合：|2k，kZ

　　l）l

　　60、弧度计算公式：r

　　61、扇形面积公式：S12lr12r2（为弧度）62、三角函数的定义：已知Px，y是的终边上除原点外的任一点P（x，y）r则siny，cosx，tany，其中r2x2）yrrxy2x63、三角函数值的符号++++

　　++sincostan

　　64、特殊角的三角函数值：0235643234632sin012332122212220—1cos132112220—2—232—2—10tan03313不存—1—3在—330不存在65、同角三角函数的关系：sin2cos21，tansincos

　　66、和角与差角公式：二倍角公式：

　　sin（）sincoscossin；sin22sincos

　　cos（）coscossinsin；cos2cos2sin212sin2

　　tan（）tantan2cos211tantan。tan22tan1tan267、诱导公式记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限；其中，奇偶是指2的个数

　　sin2ksinsinsinsinsinsinsincos2kcoscoscoscoscoscoscos

　　tan2ktantantantantantantansin（2）coscos（2）sinsin（2）coscos（2）sin

　　68、辅助角公式：asinbcos=a2b2sin（）（辅助角所在象限与点（a，b）的象限相同，且

　　tanba）。主要在求周期、单调性、最值时运用。如y3sinxcosx2sin（x6）

　　69、半角公式（降幂公式）：sin21cos1cos22，cos22270、三角函数yAsin（x）的性质（A0，0）

　　（1）最小正周期T2；振幅为A；频率f1T；相位：x；初相：；值域：[A，A]；

　　对称轴：由x2k解得x；对称中心：由xk解得x组成的点（x，0）

　　（2）图象平移：x左加右减、y上加下减。

　　例如：向左平移1个单位，解析式变为yAsin[（x1）]向下平移3个单位，解析式变为yAsin（x）3

　　（3）函数ytan（x）的最小正周期T。71、正弦定理：在一个三角形中，各边与对应角正弦的比相等。

　　asinAbsinBcsinC2R（R是三角形外接圆半径）cosAb2c2a2a2b2c22bccosA，2bc，ca2cacosB，推论cosc2a272、余弦定理：bBb2222，c2a2b22abcosC。2caosCa2b2c2c2ab。73、三角形的面积公式：S11ABC2absinC2acsinB12bcsinA。74、三角函数的图象与性质和性质三角函数ysinxycosxytanxyyy11图象xx—0x3—122—20—122—0222定义域（，）（，）（k2，k2）值域[—1，1][—1，1]（，）最大值x22k，ymax1x2k，ymax1最小值x22k，ymin1x2k，ymin1周期22奇偶性奇函数偶函数奇函数在[22k，22k]在[2k，2k]在（2k，22k）单调性上是增函数上是增函数上都是增函数kZ在[22k，322k]在[2k，2k]上是减函数上是减函数76、向量的三角形法则：79、向量的平行平行四边形法则：

　　a+bbabab—aba+ba—177、平面向量的坐标运算：设向量a=（x1，y1），向量b=（x2，y2）

　　（1）加法a+b=（x1x2，y1y2）。（2）减法a—b=（x1x2，y1y2）。（3）数乘a=（x1，y1）（x1，y1）

　　（4）数量积ab=|a||b|cosθ=x1x2y1y2，其中是这两个向量的夹角

　　（5）已知两点A（x1，y1），B（x2，y2），则向量ABOBOA（x2x1，y2y1）。

　　78、向量a=（x，y）的模：|a|=（a）22222aaxy，即|a|a

　　79、两向量的夹角公式cosabx1x2y1y2abx2y22y2

　　11x2280、向量的平行与垂直（b0）

　　a||bb=λax1y2x2y10。记法：a=（x1，y1），b=（x2，y2）

　　abab=0x1x2y1y20。记法：a=（x1，y1），b=（x2，y2）

　　必修⑤公式表

　　81、数列前n项和与通项公式的关系：

　　aS1，n1；n（数列{an}的前n项的和为sna1a2aSn）。nSn1，n2。82、等差、等比数列公式对比nN等差数列等比数列定义式aanan1danq（q0）n1通项公式及a1推广公式anaa1n1mddana1qnnmnanamqnm中项公式若a，A，b成等差，则Aab若a，G，b成等比，则G22ab运算性质若mnpq2r，则若mnpq2r，则anamapaq2aranamapaqa2r前n项和公Sna1annna21q1，式Snnann112da11－qna11qanq1q，q1。一个性质Sm，S2mSm，S3mS2m成等差数列Sm，S2mSm，S3mS2m成等比数列83、解不等式（1）、含有绝对值的不等式

　　当a>0时，有xax2a2axa。[小于取中间]

　　xax2a2xa或xa。[大于取两边]

　　（2）、解一元二次不等式ax2bxc0，（a0）的步骤：

　　①求判别式b24ac000②求一元二次方程的解：两相异实根一个实根没有实根③画二次函数yax2bxc的图象

　　④结合图象写出解集

　　ax2bxc0解集xxxb2或xx1xx2aR

　　ax2bxc0解集xx1xx2

　　注：ax2bxc0（a0）解集为Rax2bxc0对xR恒成立0（3）分式不等式：先移项通分，化一边为0，再将除变乘，化为整式不等式，求解。如解分式不等式

　　x1x1：先移项x1x10；通分（x1）xx0；再除变乘（2x1）x0，解出。

　　84、线性规划：

　　直线AxByC0

　　（1）一条直线将平面分为三部分（如图）：